Đại số Boolean , hệ thống biểu tượng của logic toán học đại diện cho mối quan hệ giữa các thực thể, cả hai ý tưởng hoặc đối tượng. Các quy tắc cơ bản của hệ thống này được xây dựng vào năm 1847 bởi George Boole của Anh và sau đó được các nhà toán học khác cải tiến và áp dụng vào lý thuyết tập hợp. Ngày nay, đại số Boolean có ý nghĩa đối với lý thuyết xác suất, hình học của tập hợp và lý thuyết thông tin. Hơn nữa, nó tạo thành cơ sở cho việc thiết kế các mạch được sử dụng trong máy tính kỹ thuật số điện tử.

Trong đại số Boolean, một tập hợp các phần tử được đóng dưới hai phép toán nhị phân giao hoán có thể được mô tả bởi bất kỳ hệ thống định đề nào khác nhau, tất cả đều có thể được suy ra từ các định đề cơ bản mà một phần tử nhận dạng tồn tại cho mỗi hoạt động, rằng mỗi hoạt động là phân phối cho phần tử kia và rằng đối với mọi phần tử trong tập hợp, có một phần tử khác kết hợp với phần tử đầu tiên trong một trong các phép toán để tạo ra phần tử nhận dạng của phần tử khác.

Đại số thông thường (trong đó các phần tử là số thực và các phép toán nhị phân giao hoán là phép cộng và phép nhân) không thỏa mãn tất cả các yêu cầu của đại số Boolean. Tập hợp các số thực được đóng theo hai thao tác (nghĩa là tổng hoặc tích của hai số thực cũng là một số thực); các phần tử nhận dạng tồn tại của 0 0 cho phép cộng và 1 cho phép nhân (nghĩa là a + 0 = a và a × 1 = a cho bất kỳ số thực a ); và phép nhân được phân phối trên phép cộng (nghĩa là a × [ b + c ] = [ a × b ] + [ a × c]); nhưng bổ sung không phải là phân phối trên phép nhân (nghĩa là, a + [ b × c ] không, nói chung, bằng [ a + b ] × [ a + c ]).

Ưu điểm của đại số Boolean là nó có giá trị khi giá trị chân lý, tức là sự thật hoặc giả của một mệnh đề đã cho hoặc câu lệnh logic được sử dụng làm biến thay cho đại lượng số được sử dụng bởi đại số thông thường. Nó tự cho mình thao túng các mệnh đề là đúng (với giá trị thật 1) hoặc sai (với giá trị thật 0). Hai mệnh đề như vậy có thể được kết hợp để tạo thành một mệnh đề ghép bằng cách sử dụng các kết nối logic hoặc toán tử AND hoặc OR. (Các ký hiệu chuẩn cho các kết nối này lần lượt là và.) Giá trị thật của mệnh đề kết quả phụ thuộc vào giá trị thật của các thành phần và liên kết được sử dụng. Ví dụ: các mệnh đề a và bcó thể đúng hoặc sai, độc lập với nhau. Liên kết AND tạo ra một mệnh đề, a ∧ b , điều đó đúng khi cả a và b đều đúng và ngược lại.

Bài viết này được sửa đổi và cập nhật gần đây nhất bởi William L. Hosch, Phó tổng biên tập.